Question

设α∈(0，

π

2

)，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，当x≥y时，f(

x+y

2

)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)．
（Ⅰ）求f(

1

2

)，f(

1

4

)；
（Ⅱ）求α的值；
（Ⅲ）求g(x)=

3

sin(α-2x)+cos(α-2x)的单调增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x=1，y=0代入到f(

x+y

2

)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)可求得f(

1

2

)的值，令x=

1

2

，y=0代入到f(

x+y

2

)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)可求得f(

1

4

)的值．
（Ⅱ）先令x=1，y=

1

2

代入到f(

x+y

2

)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)可表示出f（

3

4

），然后令x=

3

4

，y=

1

4

和f（

3

4

）的值代入到f(

x+y

2

)=f(x)sinα+(1-sinα)f(y)中，即可得到sinα=

1

2

，再结合α的范围可求得到答案．
（Ⅲ）先将α的值代入根据两角和与差的公式进行化简，再根据正弦函数的单调性可得到单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）令x=1，y=0，f(

1

2

)=f(1)sinα+(1-sinα)f(0)=sinα
令x=

1

2

，y=0，f(

1

4

)=f(

1

2

)sinα=sin2α．
（Ⅱ）令x=1，y=

1

2

，f(

3

4

)=f(1)sinα+(1-sinα)f(

1

2

)
=sinα+（1-sinα）sinα
=-sin²α+2sinα．
令x=

3

4

，y=

1

4

，f(

1

2

)=f(

3

4

)sinα+(1-sinα)f(

1

4

)=-2sin3α+3sin2α
∴-2sin³α+3sin²α=sinα
∴sinα=

1

2

∵α∈(0，

π

2

)
∴α=

π

6

；
（Ⅲ）g(x)=

3

sin(

π

6

-2x)+cos(

π

6

-2x)
=2sin(

π

6

-2x+

π

6

)=2sin(

π

3

-2x)=2sin(2x+

2π

3

)
要使g（x）单调增区间，
则2kπ-

π

2

≤2x+

2π

3

≤2kπ+

π

2

?k∈z
∴单调增区间是：[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

]?(k∈z)．

点评：本题主要考查两角和与差的公式的应用和正弦函数的单调性．考查考生对基础知识的综合应用能力和计算能力，三角函数的公式记忆是学习三角函数的难点，平时一定要注意积累．