Question

已知函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{

1

f(n)

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₄的值为（　　）

• A、

  2011

  2012

• B、

  2014

  2015

• C、

  2012

  2013

• D、

  2013

  2014

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：利用导数的几何意义赇 出f（x）=x²+x，从而得到a_n=

1

f(n)

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能求出S₂₀₁₄．

解答： 解：∵f（x）=x²+bx，∴f′（x）=2x+b
∵直线3x-y+2=0的斜率为k=3，
函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，
∴f′（1）=2+b=3，解得b=1，
∴f（x）=x²+x，
∴a_n=

1

f(n)

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
∴S₂₀₁₄=

2014

2015

．
故选：B．

点评：本题考查数列的前2014项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的几何意义和裂项求和法的合理运用．