Question

7．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=1在x∈[0，π]上的解集．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性即可得出结论．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，由g（x）=1可得x的解集，结合范围[0，π]即可得解．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得：kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
∴f（x）的单调递增区间是[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）．
（2）由已知，g（x）=f（x-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]+1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1，
由g（x）=1，得$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）=0，
∴由2x-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，可得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$（k∈Z），
∵x∈[0，π]，
∴x=$\frac{π}{8}$或$\frac{5π}{8}$，
∴方程的解集为{$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$}．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．