Question

已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），若数列：2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4（n∈N^*）成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若a=2，令b_n=a_n•f（a_n），对任意n∈N^*，都有b_n＞f^-1（t），求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：数列的函数特性,对数的运算性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用数列的单调性即可得出．

解答： 解：（1）由2n+4=2+（n+2-1）d，
解得d=2，
∴f（a_n）=2+（n+1-1）•2=2n+2，
∴an=a2n+2．
（2）bn=an•f(an)=(2n+2)a2n+2=(n+1)•22n+3，

bn+1

bn

=

n+2

n+1

•4＞1，
∴{b_n}为递增数列．
b_n中的最小项为b1=2•25=26，f-1(t)=2t，
∴t＜6．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性，属于基础题．