题目内容

已知An（n，an）为函数y1=
x2+1
图象上的点，Bn（n，bn）为函数y2=x图象上的点，设cn=an-bn，其中n∈N*．
（Ⅰ）求证：数列{cn}既不是等差数列也不是等比数列；
（Ⅱ）试比较cn与cn+1的大小．
分析：（Ⅰ）依题意有cn=
n2+1
-n，可用反证法证明数列{cn}既不是等差数列也不是等比数列；
（Ⅱ）由知cn+1=
(n+1)2+1
-(n+1)＞0，cn=
n2+1
-n＞0，利用做商法比较大小，注意判断其与1的大小关系，即可得到cn与cn+1的大小关系．
解答：解：（Ⅰ）依题意，an=
n2+1
，bn=n，cn=
n2+1
-n．
假设{cn}是等差数列，则2c2=c1+c3，
即 2(
5
-2)=
2
-1+
10
-3．
有2
5
=
2
+
10
，产生矛盾，
∴{cn}不是等差数列．                        …（3分）
假设{cn}是等比数列，则c22=c1•c3，即 (
5
-2)2=(
2
-1)(
10
-3)．
有21
5
=47，产生矛盾，
∴{cn}也不是等比数列．                       …（6分）
（Ⅱ）∵cn+1=
(n+1)2+1
-(n+1)＞0cn=
n2+1
-n＞0，
∴
cn+1
cn
=
(n+1)2+1
-(n+1)
n2+1
-n
=
n2+1
+n
(n+1)2+1
+(n+1)
．            …（8分）
又∵0＜
n2+1
＜
(n+1)2+1
，0＜n＜n+1，
∴
n2+1
+n＜
(n+1)2+1
+n+1．            …（10分）
∴0＜
n2+1
+n
(n+1)2+1
+(n+1)
＜1．
∴
cn+1
cn
＜1，cn+1＜cn．                  …（12分）
点评：此题考查学生灵活运用等差、等比数列的性质，会利用做商法比较两式子的大小，是一道中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ex•（cosx+sinx），将满足f'（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{xn}，记an=f（xn）（n∈N*）．
（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；
（Ⅱ）设cn=ln|an|，求c1+c2+c3+…+cn；
（Ⅲ）若bn=
(-1)n+1(n+1)an
，试比较bn+1与bn的大小．
必做题：（本小题满分10分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
已知an（n∈N*）是二项式（2+x）n的展开式中x的一次项的系数．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）是否存在等差数列{bn}，使an=b1cn1+b2cn2+b3cn3+…+bncnn对一切正整数n都成立？并证明你的结论．
已知各项均为正整数的数列{an}满足a1＜4，an+1=2an+1，且
n
i=1
1
1+ai
＜
1
2
对任意n∈N﹡恒成立．数列{an}，{bn}满足等式2（λn+bn）=2nλn+an+1（λ＞0）．
（1）求证数列{ an+l}是等比数列，并求出{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）证明存在k∈N﹡，使得
bn+1
bn
≤
bk+1
bk
对任意n∈N﹡均成立．
已知正项数列{an}的首项a1=m，其中0＜m＜1，函数f(x)=
x
1+x
．
（1）若正项数列{an}满足an+1=f（an）（n≥1且n∈N），证明{
1
an
}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）若正项数列{an}满足an+1≤f（an）（n≥1且n∈N），数列{bn}满足bn=
an
n+1
，试证明：b1+b2+…+bn＜1．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
图象上的任意两点，点M(
1
2
，y0)为线段AB的中点．
（1）求：y0的值．
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-2
n
)+f(
n-1
n
)，  (n≥2，且n∈N*)，求：Sn．
（3）在 （2）的条件下，已知an=
2
3
                     (n=1) 
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
 (n≥2)
，记Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，求：λ的取值范围．

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