Question

已知正项数列{a_n}的首项a₁=m，其中0＜m＜1，函数f(x)=

x

1+x

．
（1）若正项数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）（n≥1且n∈N），证明{

1

an

}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若正项数列{a_n}满足a_n+1≤f（a_n）（n≥1且n∈N），数列{b_n}满足bn=

an

n+1

，试证明：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析：（1）通过函数的表达式，得到数列相邻两项的关系式，借助等差数列的定义，证明{

1

an

}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由条件可知，an+1≤

an

1+an

，an＞0(n≥1且n∈N)，利用叠加法，推出

1

an

-

1

a1

≥n-1，证明，bk=

ak

k+1

＜

1

k(k+1)

=

1

k

-

1

k+1

，k=1，2，…，n，
然后求和得到所证明的结论．

解答：解：（1）依题目条件有an+1=

an

an+1

∴

1

an+1

-

1

an

=1(n≥1，n∈N)
所以数列{

1

an

}是以

1

a1

=

1

m

为首项，1为公差的等差数列，
所以

1

an

=

1

m

+(n-1)×1，即an=

m

1+(n-1)m

．…（4分）
（2）由条件可知，an+1≤

an

1+an

，an＞0(n≥1且n∈N)∴

1

ak

≥

1

ak-1

+1，
即∴

1

ak

-

1

ak-1

≥1，k=2，3，…，n，∴

1

a2

-

1

a1

≥1，

1

a3

-

1

a2

≥1，…

1

an

-

1

an-1

≥1，
叠加可得

1

an

-

1

a1

≥n-1，而a1=m，an≤

m

1+(n-1)m

(n≥1，n∈N)
∵0＜m＜1，∴

1

m

＞1∴ak≤

1

1 m +k-1

＜

1

k

，k=1，2，…，n，
∴bk=

ak

k+1

＜

1

k(k+1)

=

1

k

-

1

k+1

，k=1，2，…，n，
∴b1+b2+…+bn＜(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n-1

)=1-

1

n

＜1，得证…（16分）．

点评：本题考查数列的求和，等差关系的确定，累加法，裂项法的应用，考查逻辑推理能力，计算能力．