Question

已知函数f（x）=e^x•（cosx+sinx），将满足f'（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{x_n}，记a_n=f（x_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）设c_n=ln|a_n|，求c₁+c₂+c₃+…+c_n；
（Ⅲ）若b_n=

(-1)n+1(n+1)

an

，试比较b_n+1与b_n的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），由f′（x）=0可得x，从而可得x_n，a_n，只证明

an+1

an

为常数即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出a_n，从而可得c_n，可判断{c_n}为等差数列，根据等差数列求和公式可求；
（Ⅲ）表示出b_n+1与b_n，利用作差法可作出大小比较；

解答：（Ⅰ）证明：f'（x）=e^x（cosx+sinx）+e^x（-sinx+cosx）=2e^xcosx，
令f'（x）=0，∴f′(x)=2excosx=0∴x=kπ-

π

2

，k∈Z，
∴xn=nπ-

π

2

，n=1，2，3…，
∴an=f(xn)=enπ-

π

2

•sin(nπ-

π

2

)=(-1)n+1enπ-

π

2

，
∴

an+1

an

=

f(xn+1)

f(xn)

=-eπ，且a1=e

π

2

，
∴{a_n}是以e

π

2

为首项，-e^π为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，an=(-1)n-1enπ-

π

2

，则 c_n=ln|a_n|=nπ-

π

2

，
∴{c_n}是以

π

2

为首项，π为公差等差数列，
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=n•

π

2

+

n•(n-1)

2

•d=

π

2

•n2；
（Ⅲ） bn=

(-1)n+1(n+1)

an

=

n+1

enπ- π 2

，∴b_n+1=

n+2

e(n+1)π- π 2

，
b_n+1-b_n=

n+2

e(n+1)π- π 2

-

n+1

enπ- π 2

=

enπ- π 2 [(n+2)-(n+1)eπ]

enπ+ π 2 •enπ- π 2

=

enπ- π 2 [n(1-eπ)+(2-eπ)]

enπ+ π 2 •enπ- π 2

，
∵e^π＞2，∴

enπ- π 2 [n(1-eπ)+(2-eπ)]

enπ+ π 2 •enπ- π 2

＜0∴bn+1＜bn．

点评：本题考查等差数列的求和、等比数列通项公式，考查学生的运算求解能力，运算量较大．