Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f(x)=

1

2

+log2

x

1-x

图象上的任意两点，点M(

1

2

，y0)为线段AB的中点．
（1）求：y₀的值．
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-2

n

)+f(

n-1

n

)，  (n≥2，且n∈N*)，求：S_n．
（3）在 （2）的条件下，已知an=

2 3                      (n=1)  1 (Sn+1)(Sn+1+1)  (n≥2)

，记T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，求：λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由M为线段AB的中点，得：x₁+x₂=1，由此能求出y₀的值．
（2）由 （1）知：x₁+x₂=1，f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-2

n

)+f(

n-1

n

)，由倒序相加法能够求出S_n．
（3）当n≥2时，an=

1

(Sn+1)(Sn+1+1)

=

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)，所以Tn=a1+a2+a3+…+an=

2

3

+4(

1

3

-

1

n+2

)=

2n

n+2

，由T_n＜λ（S_n+1+1）得λ＞

4n

(n+2)2

=

4n

n2+4n+4

=

4

n+ 4 n +4

，由此能求出λ的取值范围．

解答：解：（1）由M为线段AB的中点，易得：x₁+x₂=1，
y0=

1

2

(y1+y2)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

1

2

[1+log2(

x1

1-x1

•

x2

1-x2

)]
=

1

2

(1+log2

x1x2

x1x2

)=

1

2

(1+0)=

1

2

…（4分）
（2）由 （1）知：x₁+x₂=1，
f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，
Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-2

n

)+f(

n-1

n

)，
Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f(

2

n

)+f(

1

n

)，
∴2Sn=[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+[f(

2

n

)+f(

n-2

n

)]+…+[f(

n-1

n

)+f(

1

n

)]=

n-1个

1+1+…+1

=n-1，
∴Sn=

n-1

2

  (n≥2，n∈N*)…（8分）
（3）当n≥2时，an=

1

(Sn+1)(Sn+1+1)

=

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

n+1

-

1

n+2

)，
∴Tn=a1+a2+a3+…+an=

2

3

+4(

1

3

-

1

n+2

)=

2n

n+2

，
由T_n＜λ（S_n+1+1），
得：λ＞

4n

(n+2)2

=

4n

n2+4n+4

=

4

n+ 4 n +4

，
∵n+

4

n

≥4，
∴

4

n+ 4 n +4

≤

4

4+4

=

1

2

，
∴λ＞

1

2

，
即λ的取值范围为(

1

2

，+∞)…（12分）

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，容易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，注意倒序相加法的灵活运用．