Question

设函数f（x）的定义域为I，现作如下定义：若?k，b∈R恒成立，使得?x∈I，f（x）≥kx+b恒成立，那么我们就称为“线托”函数．请问下列函数中是“线托”函数的是

 

（1）f（x）=x³
（2）f（x）=lnx-x+1
（3）f（x）=

lnx

x

（4）f（x）=3^x-a（a∈R）
（5）f（x）=x+sinx+cosx．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：根据已知中“线托”函数的定义，分析“线托”函数图象的特点，逐一分析五个函数是否满足“线托”函数的定义，进而可得答案．

解答： 解：由已知中“线托”函数的定义可得：“线托”函数的不能为减函数，当函数为增函数时，不能为凸函数，
（1）中，f（x）=x³在x＜0时为凸函数，不满足要求；
（2）中，f（x）=lnx-x+1在x＞1时为减函数，不满足要求；
（3）中，f（x）=

lnx

x

在x＞e时为减函数，不满足要求；
（4）中，f（x）=3^x-a（a∈R）为增函数且为凹函数，满足要求；
（5）中，f（x）=x+sinx+cosx≥x-

2

恒成立，满足要求；
故答案为：（4）（5）

点评：本题考查的知识点是合情推理，其中正确理解“线托”函数的概念是解答的关键．