Question

6．椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一个焦点F₁（-2，0），右准线方程x=8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若M为右准线上的一点，A为椭圆C的左顶点，连接AM交椭圆于点P，求$\frac{PM}{AP}$的取值范围；
（3）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点Q是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AQ交l于点M．设直线OM的斜率为k₁，直线BQ的斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=2，$\frac{{a}^{2}}{c}$=8，结合a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设P（x₀，y₀），-4＜x₀≤4，运用$\frac{PM}{AP}=\frac{{|8-{x_0}|}}{{|{x_0}+4|}}=\frac{{8-{x_0}}}{{{x_0}+4}}=\frac{12}{{{x_0}+4}}-1$，计算即可得到所求值；
（3）设Q（x₀，y₀），代入椭圆方程，求得AQ的方程，令x=4，求得M的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．

解答 解：（1）由题意：$c=2，\frac{a^2}{c}=8⇒{a^2}=16，{b^2}=12$，
所以：椭圆方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$；
（2）由题意：A（-4，0），P（x₀，y₀），-4＜x₀≤4，
且$\frac{PM}{AP}=\frac{{|8-{x_0}|}}{{|{x_0}+4|}}=\frac{{8-{x_0}}}{{{x_0}+4}}=\frac{12}{{{x_0}+4}}-1$，
∴$0＜{x_0}+4＜8⇒\frac{12}{{{x_0}+4}}≥\frac{12}{8}=\frac{3}{2}⇒\frac{PM}{AP}≥\frac{1}{2}$；
（3）证明：设Q（x₀，y₀），则$\frac{{{x_0}^2}}{16}+\frac{{{y_0}^2}}{12}=1$，
则AQ方程为：y₀x-（4+x₀）y+4y₀=0，
令x=4得：$y=\frac{{8{y_0}}}{{{x_0}+4}}$，
则$M（4，\frac{{8{y_0}}}{{{x_0}+4}}）$，${k_1}=\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+4}}$，${k_2}=\frac{y_0}{{{x_0}-4}}$，
则${k_1}{k_2}=\frac{{2{y_0}^2}}{{{x_0}^2-16}}=\frac{{2（12-\frac{3}{4}{x_0}^2）}}{{{x_0}^2-16}}=\frac{{-2×\frac{3}{4}（{x_0}^2-16）}}{{{x_0}^2-16}}=-\frac{3}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线的斜率公式和直线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．