Question

1．已知P是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$上一点，P与两焦点的连线互相垂直，且P到两焦点的距离分别为$2\sqrt{5}，4\sqrt{5}$，则椭圆的方程为$\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{20}=1$．

Answer 1

分析 设|PF₁|=2$\sqrt{5}$，|PF₂|=4$\sqrt{5}$，运用椭圆的定义可得a，运用勾股定理可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程．

解答 解：设|PF₁|=2$\sqrt{5}$，|PF₂|=4$\sqrt{5}$，
由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a=6$\sqrt{5}$，
可得a=3$\sqrt{5}$，
由勾股定理可得，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₂F₁|²，
即为20+80=4c²，解得c=5，
由b²=a²-c²，可得b=2$\sqrt{5}$．
即有椭圆的方程为$\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{20}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{20}=1$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和勾股定理的运用，以及a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．