Question

13．已知数列{a_n}中，S_n为{a_n}的前n项和，且S_n=$\frac{{1-{a_n}}}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求数列$\left\{{\left.{\frac{1}{b_n}}\right\}}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n与S_n之间的关系、计算可知数列{a_n}构成首项、公比均为$\frac{1}{3}$的等比数列，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知log₃a_n=-n，从而b_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$，裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=$\frac{{1-{a_n}}}{2}$-$\frac{1-{a}_{n-1}}{2}$，
整理得：a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
当n=1时，a₁=$\frac{1-{a}_{1}}{2}$，即a₁=$\frac{1}{3}$，
∴数列{a_n}是首项、公比均为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴其通项公式a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$；
（2）由（1）可知log₃a_n=log₃$\frac{1}{{3}^{n}}$=-n，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=-（1+2+…+n）
=-$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=-2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=-2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=-$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，利用a_n与S_n之间的关系以及裂项、并项相加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．