Question

4．已知抛物线y=x²-1上一点B（-1，0），若抛物线上存在两点P，Q，且使得PQ⊥PB，则Q点横坐标的取值范围为（-∞，-3]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 先假设P，Q的坐标，利用PQ⊥PB，可得斜率之积为-1，从而可得方程，再利用方程根的判别式大于等于0，即可求得Q点的横坐标的取值范围．

解答 解：设P（t，t²-1），Q（s，s²-1）
∵BP⊥PQ，
∴$\frac{{t}^{2}-1}{t+1}$•$\frac{{t}^{2}-{s}^{2}}{t-s}$=-1，
即t²+（s-1）t-s+1=0
∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点
∴必须有△=（s-1）²+4（s-1）≥0．
即s²+2s-3≥0，
解得s≤-3或s≥1．
∴Q点的横坐标的取值范围是 （-∞，-3]∪[1，+∞）
故答案为：（-∞，-3]∪[1，+∞）．

点评 本题重点考考查取值范围问题，解题的关键是利用两直线垂直的条件：斜率之积为-1构建方程，再利用方程根的判别式大于等于0进行求解．