Question

2．已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+2ⁿ-1（n∈N^*），且$\{\frac{{{a_n}+λ}}{2^n}\}$为等差数列，则λ的值为-1．

Answer 1

分析 通过a_n+1=2a_n+2ⁿ-1代入计算可知$\frac{{a}_{n+1}+λ}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}+λ}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{λ-1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{λ}{{2}^{n}}$，令$\frac{λ-1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{λ}{{2}^{n}}$=0计算即得结论．

解答 解：∵数列$\{\frac{{{a_n}+λ}}{2^n}\}$为等差数列，a_n+1=2a_n+2ⁿ-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}+λ}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}+λ}{{2}^{n}}$=$\frac{2{a}_{n}+{2}^{n}-1+λ}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}+λ}{{2}^{n}}$
=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1-λ}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{λ}{{2}^{n}}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{λ-1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{λ}{{2}^{n}}$为常数，
∴$\frac{λ-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{λ}{{2}^{n}}$，即λ-1-2λ=0，
解得：λ=-1，
故答案为：-1．

点评 本题考查等差数列的判定，注意解题方法的积累，属于中档题．