Question

（满分13分）如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，

求证：（1）FD∥平面ABC;

（2）AF⊥平面EDB．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）取的中点,连接,利用三角形的中位线定理得出四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理进行证明；（2）利用等腰三角形的三线合一证明,再利用线面垂直的判定与性质进行证明．

解题思路: 空间中线面的平行或垂直关系的判定与证明，要注意线线关系、线面关系、面面关系的相互转化，合理结合平面几何知识进行证明．

试题解析：（1）取AB中点G，连CG，FG，由已知中F是BE的中点，结合三角形中位线的性质，可得FG平行且等于AE的一半，又由EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=2a，DC=a，可得四边形DEGC是平行四边形，进而得到DF∥CG，由线面平行的判定定理即可得到FD∥平面ABC；

（2）由已知中EA垂直于平面ABC，则EA⊥CG，又由△ABC是正三角形，可得CG⊥AB，由线面垂直的判定定理，可得CG⊥平面EAB，进而DF⊥平面EAB，结合面面垂直的判定定理即可得到平面EAB⊥平面EDB．

证明：（1）取AB中点G，连CG，FG

四边形DEGC是平行四边形，

得到DF∥CG

DF?平面ABC，CG?平面ABC

所以FD∥平面ABC；

（2）可以证明CG⊥平面EAB，

又DF∥CG，所以DF⊥平面EAB

DF?平面EBD，所以，平面EAB⊥平面EDB

考点：1．线面平行的判定；2．线面垂直的判定与性质．