Question

13．已知曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），$B（2，\frac{4π}{3}）$．
（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得A，B的直角坐标，求得AB的斜率，由点斜式方程可得直线方程；
（Ⅱ）运用点到直线的距离公式，结合三角函数的辅助角公式，由正弦函数的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ） 将A、B化为直角坐标为A（2cosπ，2sinπ）、$B（2cos\frac{4π}{3}，2sin\frac{4π}{3}）$，
即A、B的直角坐标分别为A（-2，0）、$B（-1，-\sqrt{3}）$，
即有${k_{AB}}=\frac{{-\sqrt{3}-0}}{-1+2}=-\sqrt{3}$，
可得直线AB的方程为$y-0=-\sqrt{3}（x+2）$，
即为$\sqrt{3}x+y+2\sqrt{3}=0$．
（Ⅱ）设M（2cosθ，sinθ），
它到直线AB距离$d=\frac{{|2\sqrt{3}cosθ+sinθ+2\sqrt{3}|}}{2}$
=$\frac{{|\sqrt{13}sin（θ+φ）+2\sqrt{3}|}}{2}$，（其中$tanφ=2\sqrt{3}$）
当sin（θ+φ）=1时，d取得最大值，
可得${d_{max}}=\frac{{\sqrt{13}+2\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查直角坐标和极坐标的互化，直线方程的求法和运用，同时考查三角函数的辅助角公式和正弦函数的值域的运用，属于中档题．