Question

18．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时．f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}-1|，0≤x≤2}\\{f（x-1），x＞2}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-k（x-1）恰有4个不同的零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{3}{4}$，-$\frac{3}{5}$）∪（$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{4}$]
• B． [-1，-$\frac{3}{4}$）∪（$\frac{3}{4}$，1]
• C． （$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{4}$]
• D． [-$\frac{3}{4}$，-$\frac{3}{5}$）

Answer 1

分析 根据条件作出函数f（x）的图象，利用数形结合建立h（x）=k（x-1）与f（x）的大小关系即可得到结论．

解答 解：当2＜x≤3时，1＜x-1≤2，
则f（x）=f（x-1）=|（x-1）²-1|，
∵函数f（x）是偶函数，作出函数f（x）的图象如图：

要使f（x）=k（x-1）恰有4个不同的根，则满足直线在A、B（包含A，不包含B）之间或C、D（包含C，不包含D）之间，
A点时k=$\frac{3}{4}$，B点时k=$\frac{3}{5}$，C点时k=-$\frac{3}{4}$，D点时k=-$\frac{3}{5}$
∴$\frac{3}{5}$＜k≤$\frac{3}{4}$，或-$\frac{3}{4}$≤k＜-$\frac{3}{5}$，
故选：A．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．