Question

已知方程x²-(tanθ+i)x-(i+2)=0.

(1)若方程有实根，求θ及其两根；

(2)证明:无论θ为何值，此方程不可能有纯虚根.

Answer 1

(1)解：设α∈R为方程的根，则有

∴α=-1,tanθ=1.

∴θ=kπ+,k∈Z.

设另一根为β，则(-1)·β=-(2+i),

∴β=2+i.

∴θ=kπ+,k∈Z.

∴两根分别为-1，2+i.

(2)证明:设bi(b∈R,b≠0)为方程的纯虚根.

则(bi)²-(tanθ+i)(bi)-(i+2)=0,

∴

∵-b²+b-2=0,

∴b²-b+2=0.

∵此方程无实根，

∴原方程无论θ为何值时，方程不可能有纯虚根.