Question

已知方程x²+4ax+3a+1=0（a为大于1的常数）的两根为tanα，tanβ，且α、β∈（-

π

2

，

π

2

），则tan

α+β

2

的值是

-2

．

Answer 1

分析：根据韦达定理表示出tanα+tanβ和tanαtanβ，然后利用两角和的正切函数公式求出tan（α+β）的值，然后根据半角的三角函数公式列出关于tan

α+β

2

的方程，求出方程的解即可得到tan

α+β

2

的值，根据α和β的范围求出α+β的范围，进而求出

α+β

2

的范围，即可得到满足题意的tan

α+β

2

的值．

解答：解：由方程x²+4ax+3a+1=0（a为大于1的常数）的两根为tanα，tanβ，
得到tanα+tanβ=-4a＜0，tanαtanβ=3a+1＞，
则tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

-4a

1-(3a+1)

=

4

3

＞0，tanα＜0，tanβ＜0，
又因为α、β∈（-

π

2

，

π

2

），得到α+β∈（-π，π），
所以α+β∈（-π，-

π

2

），则

α+β

2

∈（-

π

2

，-

π

4

），
而tan（α+β）=

2tan α+β 2

1-tan2 α+β 2

，
所以

2tan α+β 2

1-tan2 α+β 2

=

4

3

，即（2tan

α+β

2

-1）（tan

α+β

2

+2）=0，
解得tan

α+β

2

=

1

2

（不合题意，舍去），tan

α+β

2

=-2，
故答案为：-2

点评：此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式及半角函数公式化简求值，是一道综合题．学生在求出tan

α+β

2

的值后，会利用角度的范围舍去不合题意的值．