Question

已知方程x²+4ax+3a+1=0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈(-

π

2

，

π

2

)，则tan

α+β

2

的值是

-2

．

Answer 1

分析：利用韦达定理结合两角和的正切函数以及诱导公式求出tanα，tanβ的值．然后利用二倍角的正切函数求出tan

α+β

2

的值．

解答：解：由已知方程x²+4ax+3a+1=0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ，
得：

tanα+tanβ=-4a tanα•tanβ=3a+1

，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

-4a

1-3a-1

=

4

3

．
∵a＞1，
∴tanα+tanβ=-4a＜0，
∵α，β∈(-

π

2

，

π

2

)
∴α+β∈（-π，0），

α+β

2

∈(-

π

2

，0)，
∴tan

α+β

2

＜0．
又tan（α+β）=

2tan α+β 2

1-tan2 α+β 2

=

4

3

．
整理得：2tan²

α+β

2

+3tan

α+β

2

-2=0，
解得tan

α+β

2

=-2或tan

α+β

2

=

1

2

（舍去）．
故答案为：-2．

点评：本题考查两角和的正切公式、韦达定理、二倍角的正切公式的应用，考查计算能力与转化思想．