Question

若已知方程x²-（tanθ+cotθ）x+1=0有两个实根，且其中一个根是2-

3

，求cos4θ的值．

Answer 1

分析：利用方程的根，结合判别式确定sin²2θ≤1，通过两个根求出另一个根，推出sin2θ的值，然后求出cos4θ的值．

解答：解：∵方程x²-（tanθ+cotθ）²x+1=0有两个实根，
∴△=（tanθ+cotθ）²-4
=(

sinθ

cosθ

+

cosθ

sinθ

)2-4
=

4

sin22θ

-4≥0，
即sin²2θ≤1．
设另一个根为m，则由根与系数的关系可得，
（2-

3

）m=1，于是m=

1

2- 3

=2+

3

，
故tanθ+cotθ=4，即

2

sin2θ

=4，
∴sin2θ=

1

2

（满足sin2²θ≤1）．
∴cos4θ=1-2sin2²θ=

1

2

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，考查二次方程根的问题，二倍角公式的应用，考查计算能力．