Question

11．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，f（2）=1，f'（x）是f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示，若两个正实数a，b  满足f（2a+b-4）＜1，则 a²+b²的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{4}{5}，36）$
• B． （1，36）
• C． $[\frac{4}{5}，\frac{36}{5}]$
• D． （1，9）

Answer 1

分析 根据函数单调性和导数之间的关系，转化为不等式关系，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：由f′（x）的图象知，当x＞0时，f′（x）＞0，函数为增函数，当x＜0时，f（x）＜0，函数为减函数，
即当x=0时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值，
∵函数y=f（x）是R上的偶函数，f（2）=1，
∴不等式f（2a+b-4）＜1，等价为f（|2a+b-4|）＜f（2），
即|2a+b-4|＜2，
即-2＜2a+b-4＜2，即2＜2a+b＜6
∵a，b是正实数，
∴作出不等式组对应的平面区域对应的平面区域如图：
a²+b²的几何意义是区域内的点到圆的距离的平方，
由图象知，O到直线2a+b=2的距离最小，OB的距离最大，
其中B（0，6），则|OB|=6，
O到直线2a+b-2=0的距离d=$\frac{|-2|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
则（$\frac{2}{\sqrt{5}}$）²＜a²+b²＜|OB|²，
即$\frac{4}{5}$＜a²+b²＜36，
即 a²+b²的取值范围是（$\frac{4}{5}$，36），
故选：A

点评 本题主要考查函数单调性和导数的关系，函数奇偶性和单调性的关系，以及线性规划的知识，根据条件进行转化是解决本题的关键．