Question

7．如图，在△ABC中，边BC上的高所在的直线方程为x-3y+2=0，∠BAC的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，3）．
（1）求点A和点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x-3y+2=0\\ y=0\end{array}\right.$，得顶点A． 利用直线AB的斜率计算公式可得k_AB，x轴是∠BAC的平分线，可得直线AC的斜率为-1，AC所在直线的方程．直线BC上的高所在直线的方程为x-3y+2=0，故直线BC的斜率为-3，可得直线BC方程为．
（2）利用两点之间的距离公式可得|BC|，又直线BC的方程是3x+y-6=0，利用点到直线的距离公式可得：A到直线BC的距离d，即可得出△ABC的面积．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x-3y+2=0\\ y=0\end{array}\right.$，得顶点A（-2，0）．                 …（2分）
又直线AB的斜率${k_{AB}}=\frac{3-0}{1-（-2）}=1$，x轴是∠BAC的平分线，
故直线AC的斜率为-1，AC所在直线的方程为y=-x-2①
直线BC上的高所在直线的方程为x-3y+2=0，故直线BC的斜率为-3，
直线BC方程为y-3=-3（x-1），即y=-3x+6．②…（4分）
联立方程①②，得顶点C的坐标为（4，-6）．              …（6分）
（2）$|{BC}|=\sqrt{{{（{1-4}）}^2}+{{（{3+6}）}^2}}=3\sqrt{10}$，…（8分）
又直线BC的方程是3x+y-6=0，
所以A到直线BC的距离$d=\frac{{|{-6-6}|}}{{\sqrt{10}}}=\frac{12}{{\sqrt{10}}}=\frac{{6\sqrt{10}}}{5}$，…（10分）
所以△ABC的面积=$\frac{1}{2}|{BC}|•d=\frac{1}{2}×3\sqrt{10}×\frac{{6\sqrt{10}}}{5}=18$．…（12分）

点评 本题考查了直线方程、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．