题目内容

已知向量
m
=(
3
cos
x
4
，cos
x
4
)，
n
=(sin
x
4
，cos
x
4
)，函数f（x）=
m
•
n
．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC+
1
2
c=b，求f（2B）的取值范围．
（Ⅰ）∵函数f（x）=
m
•
n
=
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos2
x
4
=
3
2
sin
x
2
+
1
2
cos
x
x
+
1
2
=sin（
x
2
+
π
6
）+
1
2
，
故函数的最小正周期为
2π
1
2
=4π．
令 2kπ+
π
2
≤
x
2
+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，求得  4kπ+
2π
3
≤x≤4kπ+
8π
3
，k∈z，
故函数的单调减区间为[4kπ+
2π
3
，4kπ+
8π
3
]，k∈z．
（Ⅱ）在锐角△ABC中，∵acosC+
1
2
c=b，由余弦定理可得 a•
a2+b2-c2
2ab
+
c
2
=b．
化简可得b2+c2-a2=bc，∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
，∴A=
π
3
．
∴B+C=
2π
3
，∴
2π
3
-
π
2
=
π
6
＜B＜
π
2
，∴
π
3
＜B+
π
6
＜
2π
3
，∴
3
2
＜sin（B+
π
6
）≤1
f（2B）=sin（B+
π
6
）+
1
2
∈（
1+
3
2
，
3
2
]，即f（2B）的取值范围为（
1+
3
2
，
3
2
]．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=（
3
cosx，cos2x），
n
=（sinx，-
1
2
），x∈R，设函数f（x）=
m
•
n
．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[-π，-
π
2
]上的最大值和最小值．
（2012•梅州一模）已知向量
m
=（sinx，-1），向量
n
=（
3
cosx，-
1
2
），函数f（x）=（
m
+
n
）•
m
．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2
3
，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，
π
2
]上的最大值，求A，b和△ABC的面积S．
已知向量
m
=(2，-
3
cosx)，
n
=(cos2x，2sinx)，函数f(x)=1-
m
•
n

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[-
π
3
，
π
6
]上的值域．
已知向量
m
=（2sinx，2cosx），
n
=（
3
cosx，cosx），f（x）=
m
•
n
-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的
1
2
，把所得到的图象再向左平移
π
6
单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，
π
8
]上的最小值．
已知向量
m
=(2cosx，，2sinx)，
n
=(cosx，，
3
cosx)，函数f(x)=a
m
•
n
+b-a（a、b为常数且x∈R）．
（Ⅰ） 当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ） 是否存在非零整数a、b，使得当x∈[0，
π
2
]时，f（x）的值域为[2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．

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