Question

已知向量

m

=(2，-

3

cosx)，

n

=(cos2x，2sinx)，函数f(x)=1-

m

•

n

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

3

，

π

6

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式化简函数解析式为2sin（2x-

π

6

），求出最小正周期，再由2kπ -

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范围，即可求得单调递增区间．
（2）由于x∈[-

π

3

，

π

6

]，可得 2x-

π

6

∈[-

5π

6

，

π

6

]，从而求得2sin（2x-

π

6

）的范围，即可求得值域．

解答：解：（1）由于函数f(x)=1-

m

•

n

=1-（2cos²x-2

3

sinxcosx）=1-（1+cos2x-

3

sin2x）=
 2（

3

2

sin2x -

1

2

cos2x）=2sin（2x-

π

6

），
故函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π．
令 2kπ -

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得  kπ -

π

6

≤  x ≤ kπ+

π

3

，k∈z，
故单调递增区间为[kπ -

π

6

 ， kπ+

π

3

]，k∈z．
（2）由于x∈[-

π

3

，

π

6

]，∴2x-

π

6

∈[-

5π

6

，

π

6

]，故-1≤sin（2x-

π

6

）≤

1

2

，-2≤2sin（2x-

π

6

）≤1，
故函数f（x）在区间[-

π

3

，

π

6

]上的值域为[-2，1]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题．