题目内容
已知向量
=（2sinx，2cosx），
=（
cosx，cosx），f（x）=
•
-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的
，把所得到的图象再向左平移
单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，
]上的最小值．
| m |
| n |
| 3 |
| m |
| n |
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 8 |
分析：（1）由向量的数量积的坐标表示及二倍角公式、辅助角公式可得f（x）=2sin（2x+
），根据周期公式可求T；再由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
可求f（x）的单调递增区间
（2）根据函数的变换可得g（x）=2sin（4x+
），由x∈[0，
]，可求4x+
∈[
，
]．结合正弦函数的性质可求函数的 最小值
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
（2）根据函数的变换可得g（x）=2sin（4x+
| 5π |
| 6 |
| π |
| 8 |
| 5π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 4π |
| 3 |
解答：解：（1）因为f（x）=2
sinxcosx+2cos2x-1
=
sin2x+cos2x=2sin（2x+
）（3分）
∴函数f（x）的最小正周期为T=π、…（4分）
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
得f（x）的单调递增区间为[kπ-
π，kπ+
]，k∈Z（6分）
（2）根据条件得g（x）=2sin（4x+
）…（8分）
当x∈[0，
]时，4x+
∈[
，
]，…（10分）
所以当x=
时，g(x)min=-
、…（12分）
| 3 |
=
| 3 |
| π |
| 6 |
∴函数f（x）的最小正周期为T=π、…（4分）
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
得f（x）的单调递增区间为[kπ-
| 1 |
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）根据条件得g（x）=2sin（4x+
| 5π |
| 6 |
当x∈[0，
| π |
| 8 |
| 5π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 4π |
| 3 |
所以当x=
| π |
| 8 |
| 3 |
点评：本题主要考查了平面向量的数量积的坐标表示及三角函数的二倍角、辅助角公式的综合应用，正弦函数的性质的综合应用．
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