Question

已知向量

m

=（

3

cosx，cos2x），

n

=（sinx，-

1

2

），x∈R，设函数f（x）=

m

•

n

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[-π，-

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换，化简函数f（x）=

m

•

n

的解析式为 sin（2x-

π

6

），可得f（x）的最小正周期．
（2）由-π≤x≤-

π

2

，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在[-π，-

π

2

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）函数f（x）=

m

•

n

=（

3

cosx，cos2x）•（sinx，-

1

2

）
=

3

sinxcosx-

1

2

cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），…（4分）
故f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π…（6分）
（2）∵-π≤x≤-

π

2

，∴-

13π

6

≤2x-

π

6

≤-

7π

6

，…（8分）
由正弦函数的性质，
当 2x-

π

6

=-

3π

2

，即x=-

4π

3

时，f（x）取得最大值1，…（10分）
当2x-

π

6

=-

13π

6

，即x=-π时，f（x）取得最小值-

1

2

．…（12分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．