Question

（2012•梅州一模）已知向量

m

=（sinx，-1），向量

n

=（

3

cosx，-

1

2

），函数f（x）=（

m

+

n

）•

m

．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2

3

，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，求A，b和△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）由向量的数量积的坐标运算结合三角函数的降次公式、辅助角公式，将函数化简整理得f（x）=sin（2x-

π

6

）+2，由此不难用三角函数的周期公式，求出f（x）的最小正周期T；
（2）根据正弦函数的单调性与最值，得到f（x）在x=

π

3

时取得最大值，从而得到A=

π

3

，在△ABC内用余弦定理列出关于边b的方程，解之即得b的值，最后用面积正弦定理的公式可求出△ABC的面积S．

解答：解：∵向量

m

=（sinx，-1），向量

n

=（

3

cosx，-

1

2

），
∴

m

+

n

=（sinx+

3

cosx，-

3

2

），
由此可得f（x）=（

m

+

n

）•

m

=sinx（sinx+

3

cosx）+

3

2

=sin²x+

3

sinxcosx+

3

2

∵sin²x=

1-cos2x

2

，sinxcosx=

1

2

sin2x
∴f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+2=sin（2x-

π

6

）+2
（1）根据三角函数的周期公式，得周期T=

2π

2

=π；
（2）f（A）=sin（2A-

π

6

）+2，当A∈[0，

π

2

]时，f（A）的最大值为f（

π

3

）=3
∴锐角A=

π

3

，根据余弦定理，得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，可得b²+c²-a²=bc
∵a=2

3

，c=4，
∴b²+16-12=4b，解之得b=2
根据正弦定理，得△ABC的面积为：S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×4sin

π

3

=2

3

．

点评：本题以向量的数量积运算为载体，着重考查了三角函数的降次公式、辅助角公式和用正余弦定理解三角形等知识，属于基础题．