Question

19．已知首项大于0的数列{a_n}满足：a_n≠0，$\frac{1}{9}$，a₁，1成等比数列，a_n-a_n+1=2a_n+1•a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n2}的前n项和为T_n，证明：T_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由首项大于0的数列{a_n}满足：$\frac{1}{9}$，a₁，1成等比数列，可得${a}_{1}^{2}$=$\frac{1}{9}$×1，解得a₁．由a_n≠0，a_n-a_n+1=2a_n+1•a_n（n∈N^*）．变形为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}}$＜$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出．

解答 （1）解：∵首项大于0的数列{a_n}满足：$\frac{1}{9}$，a₁，1成等比数列，
∴${a}_{1}^{2}$=$\frac{1}{9}$×1，解得a₁=$\frac{1}{3}$．
∵a_n≠0，a_n-a_n+1=2a_n+1•a_n（n∈N^*）．
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为3，公差为2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=3+2（n-1）=2n+1，
∴a_n=$\frac{1}{2n+1}$．
（2）证明：∵${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}}$＜$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列{a_n2}的前n项和为T_n=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$＜$\frac{1}{4}$．
∴T_n$＜\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．