题目内容
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，∠A、∠B、∠C的大小成等差数列，且b=
．
（1）若a=1，求∠A的大小；
（2）求△ABC周长的取值范围．
| 3 |
（1）若a=1，求∠A的大小；
（2）求△ABC周长的取值范围．
考点：正弦定理,等差数列的性质
专题：解三角形
分析：（1）由∠A、∠B、∠C的大小成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，确定出A+C的度数，利用正弦定理列出关系式，将a，b，sinB的值代入求出sinA的值，确定出A的度数即可；
（2）由b，sinB的值，利用正弦定理表示出a与c，设周长为y=a+b+c，将表示出的a与c，以及b的值代入，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出周长的范围．
（2）由b，sinB的值，利用正弦定理表示出a与c，设周长为y=a+b+c，将表示出的a与c，以及b的值代入，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出周长的范围．
解答：
解：（1）∵A，B，C成等差数列，
∴A+C=2B=π-B，
解得：B=
，A+C=
，
由正弦定理
=
，a=1，b=
，
∴
=
=2，即sinA=
，
又∵0＜A＜
，
∴A=
；
（2）∵B=
，b=
，
∴
=
=
=
=2，
∴c=2sinC，a=2sinA，
设周长为y，
则y=a+b+c=2sinA+2sinC+
=2sinA+2sin[π-（
+A）]
=2sinA+2sin（A+
）+
=2sinA+2sinAcos
+2cosAsin
+
=2
（
sinA+
cosA）+
=2
sin（A+
）+
，
∵0＜A＜
，
∴
＜A+
＜
，即
＜sin（A+
）≤1，
∴2
＜2
sin（A+
）+
≤3
，
则周长的取值范围是（2
，3
]．
∴A+C=2B=π-B，
解得：B=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
由正弦定理
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| 3 |
∴
| 1 |
| sinA |
| ||||
|
| 1 |
| 2 |
又∵0＜A＜
| 2π |
| 3 |
∴A=
| π |
| 6 |
（2）∵B=
| π |
| 3 |
| 3 |
∴
| c |
| sinC |
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| ||||
|
∴c=2sinC，a=2sinA，
设周长为y，
则y=a+b+c=2sinA+2sinC+
| 3 |
=2sinA+2sin[π-（
| π |
| 3 |
=2sinA+2sin（A+
| π |
| 3 |
| 3 |
=2sinA+2sinAcos
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
=2
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
=2
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
∵0＜A＜
| 2π |
| 3 |
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴2
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| 3 |
则周长的取值范围是（2
| 3 |
| 3 |
点评：此题考查了正弦定理，正弦函数的定义域与值域，等差数列的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
甲乙两人通过考试的概率分别为
和
，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是（ ）
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 3 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，∠BAD=60°，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE折起到△PDE的位置，使平面PDE⊥平面BCDE．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，点Q为线段AD中点，PQ与QB不垂直．