Question

在四面体ABCD中，AB⊥面BCD，BC=CD，∠BCD=90°，∠ADB=30°，E，F分别是AC，AD的中点，分别求出面BEF与面ABC的法向量，并据此说明平面BEF与平面ABC的位置关系．

Answer 1

考点：平面与平面之间的位置关系

专题：空间向量及应用

分析：首先，设出A（0，0，a），然后，得到D（0，

3

a，0），B（0，0，0），C（

3

2

a，

3

2

a，0），E（

3

4

a，

3

4

a，

1

2

a），F（0，

3

2

a，

1

2

a），从而得到

BC

=（

3

2

a，

3

2

a，0），

BA

=（0，0，a），

BE

=（

3

4

a，

3

4

a，

1

2

a），

BF

=（0，

3

2

a，

1

2

a），最后，结合法向量进行求解．

解答： 解：由设A（0，0，a）及∠ADB=30°，得
点D（0，

3

a，0），B（0，0，0）
又BC=CD，∠BCD=90°，得
C（

3

2

a，

3

2

a，0），
由E、F分别是AC、AD的中点，得
E（

3

4

a，

3

4

a，

1

2

a），F（0，

3

2

a，

1

2

a），
∴

BC

=（

3

2

a，

3

2

a，0），

BA

=（0，0，a），

BE

=（

3

4

a，

3

4

a，

1

2

a），

BF

=（0，

3

2

a，

1

2

a），
设平面BEF的法向量为

μ1

=（α，β，γ），
∴

μ1 • BE =0 μ1 • BF =0

，
∴

3 α+ 3 β+γ=0 3 β+γ=0

，
∴取

α=0 β=1 γ=- 3

，
∴

μ1

=（0，1，-

3

），
设平面ABC的法向量为

μ2

=(x，y，z)，
∴

μ2 • BA =0 μ2 • BC =0

，
∴

3 x+ 3 y=0 z=0

，
∴取

x=1 y=-1 z=0

，
∴

μ2

=(1，-1，0)，
∵

μ1

•

μ2

=-1≠0，
∴平面BEF与平面ABC相交．

点评：本题重点考查了空间向量的运算、平面的法向量等知识，属于中档题．