Question

11．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F₁、F₂为左右焦点，B为短轴端点，且S${\;}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=4，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|=|$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{ON}$|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得方程${S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•b=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且a²=b²+c²；从而联立解出椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x²+y²=r²，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，则可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0；再设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$可得x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$；y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$；从而再由x₁x₂+y₁y₂=0可得3m²-8k²-8=0，从而可解得m≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$或m≤-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；从而解出所求圆的方程为x²+y²=$\frac{8}{3}$；再验证当切线的斜率不存在时也成立即可．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得，
${S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•b=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且a²=b²+c²；
联立解得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=8}\\{{b}^{2}=4}\end{array}\right.$；
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x²+y²=r²，
使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，
∵|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|=|$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{ON}$|，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0；
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$得，
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
则△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0；
即8k²-m²+4＞0；
∴x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$；
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$；
要使$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
故x₁x₂+y₁y₂=0；
即$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0；
所以3m²-8k²-8=0，
所以3m²-8≥0且8k²-m²+4＞0；
解得m≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$或m≤-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，r²=$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{\frac{8}{3}（1+{k}^{2}）}{1+{k}^{2}}$=$\frac{8}{3}$；
故r=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
即所求圆的方程为x²+y²=$\frac{8}{3}$；
此时圆的切线y=kx+m都满足m≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$或m≤-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
而当切线的斜率不存在时切线为x=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$与椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的两个交点为（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）；
满足$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
综上所述，存在圆心在原点的圆x²+y²=$\frac{8}{3}$满足条件．

点评 本题考查了圆锥曲线的应用，化简很复杂，应用到了根与系数的关系以简化运算，属于难题．