Question

求证下列等式成立

n

R=1

R2=

n(n+1)(2n+1)

6

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时成立，然后假设当n=k时成立，只要能证明出当n=k+1时，立即可得到所有的正整数n都成立

解答： 证明：∵

n

R=1

R2=

n(n+1)(2n+1)

6

，
即1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

，
（1）当n=1时，左边=1，右边=

(1+1)×(2+1)

6

，即原式成立，
（2）假设当n=k时，原式成立，即1²+2²+3²+…+k²=

k(k+1)(2k+1)

6

，
当n=k+1时，1²+2²+3²+…+（k+1）²=

k(k+1)(2k+1)

6

+（k+1）²=

(k+1)(k+2)(2k+3)

6

，即原式成立，
根据（1）和（2）可知等式对任意正整数n都成立，
∴1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

．
即

n

R=1

R2=

n(n+1)(2n+1)

6

．

点评：本题主要考查了数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．