Question

6．已知$\frac{π}{4}＜α＜\frac{3π}{4}，0＜β＜\frac{π}{4}，cos（\frac{π}{4}-α）=\frac{3}{5}，sin（\frac{3π}{4}+β）=\frac{5}{13}$，则sin（α+β）=（　　）

• A． $-\frac{56}{65}$
• B． $\frac{56}{65}$
• C． $-\frac{16}{65}$
• D． $\frac{16}{65}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的余弦公式，求得sin（α+β）的值．

解答 解：∵$\frac{π}{4}＜α＜\frac{3π}{4}，0＜β＜\frac{π}{4}，cos（\frac{π}{4}-α）=\frac{3}{5}，sin（\frac{3π}{4}+β）=\frac{5}{13}$，
∴$\frac{π}{4}$-α∈（-$\frac{π}{2}$，0），$\frac{3π}{4}$+β∈（$\frac{π}{2}$，π），∴sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（\frac{π}{4}-α）}$=-$\frac{4}{5}$，cos（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（\frac{3π}{4}+β）}$=-$\frac{12}{13}$，
则sin（α+β）=sin[（$\frac{3π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）-$\frac{π}{2}$]=-cos[（$\frac{3π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]=-cos（$\frac{3π}{4}$+β）cos（$\frac{π}{4}$-α）-sin（$\frac{3π}{4}$+β）sin（$\frac{π}{4}$-α）
=-$\frac{12}{13}$•$\frac{3}{5}$-$\frac{5}{13}$•（-$\frac{4}{5}$）=-$\frac{16}{65}$，
故选：C．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的余弦公式的应用，属于基础题．