Question

16．已知双曲线C：x²-y²=1及直线l：y=kx+1．
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为$\sqrt{2}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k的范围．
（2）设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理以及弦长公式区间即可．

解答 解：（1）双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-{y^2}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$有两个不同的实数根，（1分）
整理得（1-k²）x²-2kx-2=0．（2分）
∴$\left\{\begin{array}{l}1-{k^2}≠0\\△=4{k^2}+8（{1-{k^2}}）＞0\end{array}\right.$，解得-$\sqrt{2}$＜k＜$\sqrt{2}$且k≠±1．（5分）
双曲线C与直线l有两个不同交点时，k的取值范围是（-$\sqrt{2}$，-1）∪（-1，1）∪（1，$\sqrt{2}$）．（6分）
（2）设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）得${x_1}+{x_2}=\frac{2k}{{1-{k^2}}}=2\sqrt{2}$，即$\sqrt{2}{k^2}+k-\sqrt{2}=0$，解得：$k=\frac{{\sqrt{2}}}{2}或k=-\sqrt{2}$．
∵-$\sqrt{2}$＜k＜$\sqrt{2}$且k≠±1．∴$k=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（9分）
∴△=-4k²+8=6．
∴$|{AB}|=\sqrt{（{1+{k^2}}）}\frac{{\sqrt{△}}}{{1-{k^2}}}=6$（12分）

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．