Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有顶点都在半径为

2

的球面上，AB=AC=

3

，AA₁=2，则二面角B-AA₁-C的余弦值为（　　）

• A、-

  1

  3

• B、-

  1

  2

• C、

  1

  3

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：根据条件求出AE=BE=CE=1，根据二面角的定义求出二面角的平面角，即可得到结论

解答： 解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有顶点都在半径为

2

的球面上，
∴球心O位于高的中点上，
∵AA₁=2，AO=

2

，
∴OE=1，AE=

AO2-OE2

=

2-1

=1，
同理EC=EB=1，即O在平面ABC的射影E为三角形ABC的外心，
∵AB=AC=

3

，
∴cosBAE=

AB2+AE2-BE2

2AB•AE

=

3+1-1

2 3 ×1

=

3

2 3

=

3

2

，
则∠BAE=

π

6

，同理∠CAE=

π

6

，
则∠BAC=

π

3

，
则∠BAC是二面角B-AA₁-C的平面角，
则cos∠BAC=cos

π

3

=

1

2

，
故选：D

点评：本题主要考查二面角的计算，要求熟练掌握二面角的大小计算，考查学生的计算能力．