Question

已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=2x，OA=x，OB=y且x+y=3，则三棱锥O-ABC的体积最大时，其外接球的体积为

 

．

Answer 1

分析：（1）三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，可以表示出三棱锥O-ABC的体积V的函数；这是x的三次函数，用求导法得最大值．
（2）三棱锥O-ABC的体积取得最大值时，OB=1，OA=2，OC=4且两两垂直；建立空间直角坐标系，可以求出外接圆的半径，从而求出外接圆的体积．

解答：解：如图（1），在三棱锥A-OBC中，OA⊥OB，OA⊥OC，
∴OA⊥平面OBC；又OB⊥OC，∴△OBC是Rt△；
所以三棱锥A-OBC的体积为：V=

1

3

Sh=

1

3

•

1

2

•OC•OB•OA=

1

3

•

1

2

•2x•y•x=

x2y

3

；
又x+y=3，∴V=

x2(3-x)

3

=

1

3

(-x3+3x2)，（x＞0）；
对V求导数，得V^′=-x²+2x；令-x²+2x=0，得x=2，或x=0（舍去）；
所以，当x=2，y=1时，V=

x2y

3

取最大值

4

3

．    
如图（2），建立空间直角坐标系；∵OB=1，OA=2，OC=4；则
O（0，O，O），B（1，0，0），A（0，0，2），C（0，4，0），
设三棱锥的外接球球心P（x，y，z）；
 外接球的半径R=PA=PB=PC=PO，
∴x²+y²+（z-2）²=x²+y²+z²，得z=1；（x-1）²+y²+z²=x²+y²+z²，得x=

1

2

；
x²+（y-4）²+z²=x²+y²+z²，得y=2；
此时可求出外接球的半径R=

x2+y2+z2

=

21

2

．
所以，三棱锥外接球的体积为：V=

4π

3

R3=

7 21

2

π．

点评：本题以三棱锥的体积，球的体积公式的应用为载体；考查了用导数法求三次函数的最值，和建立空间直角坐标系求距离；是有难度的小题．我们这样小题大作也很好．