Question

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设出点的坐标，求出直线直线BE与AC的方向向量，最后利用向量的夹角公式计算即得异面直线BE与AC所成的角的余弦值；
（2）先分别求得平面ABE的法向量和平面BEC的一个法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值即可．

解答：解：（1）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．

EB

=（2，0，0）-（0，1，0）=（2，-1，0），

AC

=（0，2，-1），（2分）
cos＜

EB

，

AC

＞=

-2

5 ． 5

= -

2

5

．（4分）
由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是

2

5

．（5分）
（2）

AB

=(2，0，-1)，

AE

=（0，1，-1），设平面ABE的法向量为m₁=（x，y，z），
则由m₁⊥

AB

，m₁⊥

AE

，得

2x-z=0 y-z=0

取n=（1，2，2），
平面BEC的一个法向量为n₂=（0，0，1），（7分）
cos＜n₁．n₂＞=

2

1+4+4

=

2

3

（9分）
由于二面角A-BE-C的平面角是n₁与n₂的夹角的补角，其余弦值是-

2

3

．（10分）

点评：考查用空间向量为工具解决立体几何问题，此类题关键是找清楚线的方向向量、面的法向量，本题主要考查了两面角的计算，考查了学生综合分析问题的能力和解决问题的能力．