Question

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，D是BC的中点，E是OC的中点．
（Ⅰ） 求证：BC⊥平面OAD；
（Ⅱ） 求O点到面ABC的距离；
（Ⅲ）求异面直线BE与AC所成的角．

Answer 1

分析：（I）在等腰Rt△OBC中根据中线，可以得到OD⊥BC，再用线面垂直证出OA⊥BC，最后用直线与平面垂直的判定定理，可以证出BC⊥平面OAD；
（II）在直角三角形OAD中作出斜边AD上的高，可以利用BC⊥平面OAD证出OH⊥平面ABC，从而得到OH即为O点到面ABC的距离，最后利用题中给出的数据解直角三角形AOD，求出OD长即可；
（III）取OA的中点M，连EM、BM，利用三角形中位线定理，可得∠BEM是异面直线BE与AC所成的角．然后在三角形BEM中，分别求出EM、BE、BM的长度，最后利用余弦定理可以求得∠BEM的大小，异面直线BE与AC所成的角．

解答：解：（I）∵OB=OC，则OD⊥BC
∵OA⊥OB，OA⊥OC
∴OA⊥平面OBC
∴OA⊥BC结合OA∩OD=O
∴BC⊥平面OAD
（II）过O点作OH⊥AD于H，
∵BC⊥平面OAD，OH?平面OAD
∴OH⊥BC，结合OH⊥AD，BC∩AD=D
∴OH⊥面ABC，OH的长就是所要求的距离
等腰直角三角形OBC中，求出BC=2

2

，OD=

OC2-CD2

=

2

．
∵OA⊥OB，OA⊥OC，
∴OA⊥面OBC，则OA⊥OD．
又AD=

OA2+OD2

=

3

，故在直角△OAD中OH=

OA•OD

AD

=

2

3

=

6

3

．
（III）取OA的中点M，连EM、BM，则EM∥AC，
∠BEM是异面直线BE与AC所成的角．求得：
EM=

1

2

AC=

5

2

，BE=

OB2+OE2

=

5

，BM=

OM 2+OB2

=

17

2

，
在三角形BEM中，cos∠BEM=

BE2+EM2-BM2

2BE•EM

=

2

5

∴∠BEM=arccos

2

5

.

点评：本题是一道立体几何综合题，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质、异面直线所成的角和点、线、面间的距离计算等知识点，属于中档题．