Question

△ABC中，AB=4，AC=4

2

，∠BAC=45°，以AC的中线BD为折痕，将△ABD沿BD折起，构成二面角A-BD-C．在面BCD内作CE⊥CD，且CE=

2

．
（Ⅰ）求证：CE∥平面ABD；
（Ⅱ）如果二面角A-BD-C的大小为90，求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由所给数据可判断△ABC为等腰直角三角形，从而可知BD⊥CD，再由CE⊥CD，可得CE∥BD，利用线面平行的判定定理可得结论；
（2）当二面角A-BD-C的大小为90°时可得AD⊥平面BDC，取AC中点F，AE中点G，可证∠BFG为二面角B-AC-E的平面角，连接BG，通过解三角形可求得∠BFG，从而得到答案；

解答：解：（1）由AB=4，AC=4

2

，∠BAC=45°，得BC=4，
∴△ABC为等腰直角三角形，
由D为AC的中点得BD⊥AC，以AC的中线BD为折痕翻折后仍有BD⊥CD，
∵CE⊥CD，∴CE∥BD，
又CE?平面ABD，BD?平面ABD，
∴CE∥平面ABD；
（2）如果二面角A-BD-C的大小为90°，
由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，
又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，
由题意AD=DC=2

2

，∴Rt△ADC中，AC=4，
设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2

3

，
设AE中点为G，则FG∥CE，
由CE⊥AC得FG⊥AC，
∴∠BFG为二面角B-AC-E的平面角，连接BG，
在△BCE中，∵BC=4，CE=

2

，∠BCE=135°，∴BE=

26

，
在Rt△DCE中，DE=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

，
于是在Rt△ADE中，AE=

(2 2 )2+( 10 )2

=3

2

，
在△ABE中，BG2=

1

2

AB2+

1

2

BE2-

1

4

AE2=

33

2

，
∴在△BFG中，cos∠BFG=

12+ 1 2 - 33 2

2×2 3 × 2 2

=-

6

3

，
∴二面角B-AC-E的余弦值为-

6

3

．

点评：本题考查线面平行的判定、二面角的求解，考查学生的推理论证能力、空间想象能力，属中档题．