题目内容
在△ABC中，AB=4，AC=2，∠BAC=120°，点D是线段BC上的动点，则
•
的取值范围是
| AD |
| BC |
[-20，8]
[-20，8]
．分析：将向量
和
分别用基向量
、
来表示，结合向量数量积的运算法则，可得．
•
=(λ
+μ
) (
-
)，其中λ+μ=1，化简即可得出要求的
•
的取值范围．
| AD |
| BC |
| AB |
| AC |
| AD |
| BC |
| AB |
| AC |
| AC |
| AB |
| AD |
| BC |
解答：解：作出图形，如下
因为B、D、C三点共线，所以可得
=λ
+μ
，其中λ+μ=1，λ∈[0，1]．
而
=
-
．
计算出
•
=|
| |
| cos120°=-4．
所以
•
=(λ
+μ
) (
-
)．
=(1-λ)|
| 2+(2λ-1)
•
-λ|
| 2．
=4（1-λ）-4（2λ-1）-16λ=8-28λ．
∵0≤λ≤1．．
∴-20≤
•
≤8．
故答案为：[-20，8]．
因为B、D、C三点共线，所以可得
| AD |
| AB |
| AC |
而
| BC |
| AC |
| AB |
计算出
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
所以
| AD |
| BC |
| AB |
| AC |
| AC |
| AB |
=(1-λ)|
| AC |
| AB |
| AC |
| AB |
=4（1-λ）-4（2λ-1）-16λ=8-28λ．
∵0≤λ≤1．．
∴-20≤
| AD |
| BC |
故答案为：[-20，8]．
点评：本题以三角形中的向量为载体，考查了向量在几何中的应用，属于中档题．根据图形特征，将题中未知的向量用已知长度的向量来线性表示，再求数量积的取值范围就显得简单易行了．
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