Question

13．已知数列{a_n}满足a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=2ⁿ⁺¹．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）当n=1，a₁=4，当n≥2，2a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=2ⁿ⁺¹，a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=2ⁿ，两式相减得到${a}_{n}=n•{2}^{n}$（n≥2），写出通项公式a_n，
（2）是由等比数列和等差组成的数列，采用乘以公比错位相减法，求得前n项和．

解答 当n=1时，由题意可知a₁=4，
当n≥2，2a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=2ⁿ⁺¹，
a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=2ⁿ，
两式相减：$\frac{{a}_{n}}{n}$=2ⁿ⁺¹-2ⁿ，
∴${a}_{n}=n•{2}^{n}$（n≥2），
故{a_n}的通项公式为{a_n}=$\left\{\begin{array}{l}{4}&{n=1}\\{n•{2}^{n}}&{n≥2，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$，
（2）{a_n}的前n项和为S_n，
${S}_{n}=1×{2}^{2}+2×{2}^{2}+3×{2}^{3}+…+n×{2}^{n}$，
$2{S}_{n}=1×{2}^{3}+2×{2}^{3}+3×{2}^{4}+…+n×{2}^{n+1}$，
两式相减得：S_n═n×2ⁿ⁺¹-（2²+2³+…+2ⁿ），
=n×2ⁿ⁺¹-4（2^n-1-1），
=（n-1）•2ⁿ⁺¹+4，
{a_n}的前n项和S_n═（n-1）•2ⁿ⁺¹+4．

点评 本题考查求数列的通项公式，采用乘以公比错位相减法求前n项公式，属于中档题．