Question

7．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x为有理数\\ 0，x为无理数\end{array}\right.$称为狄利克雷函数，关于函数f（x）有以下四个命题：
①f（f（x））=1；      
②函数f（x）是奇函数
③任意一个非零无理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；
④存在三个点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），使得△ABC为等边三角形．
其中真命题的序号为①④．（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 ①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；
②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；
③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；
④取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），三点恰好构成等边三角形，即可判断．

解答 解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，
∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，
即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），f（x）为偶函数，故②不正确； 
③由于非零无理数T，若x是有理数，则x+T是无理数； 若x是无理数，则x+T不确定，
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的无理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R不恒成立，故③不正确； 
④取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得f（x₁）=0，f（x₂）=1，f（x₃）=0，
∴A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．
故答案为：①④．

点评 本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．