Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（π-2x）-2cos²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，求得函数f（x）的最小正周期．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（π-2x）-2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x-1=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
故函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）在区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
故当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值为2-1=1；
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{4π}{3}$时，f（x）取得最小值为-$\sqrt{3}$-1．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．