Question

设函数f（x）=2x-cosx，{a_n}是公差为

π

4

的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3π，则f（a₁）+f（a₂）+…f（a₁₀）=

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得a_n=a₁+（n-1）•

π

4

，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=6a₁+

3π

2

-cos（a₁+

π

4

）=3π，从而a_n=

nπ

4

．由此能求出f（a₁）+f（a₂）+…f（a₁₀）的值．

解答： 解：∵{a_n}是公差为

π

4

的等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）•

π

4

，
∵函数f（x）=2x-cosx，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3π，
∴f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=2a₁-cosa₁+2（a₁+

π

4

）-cos（a₁+

π

4

）+2（a₁+

π

2

）-cos（a₁+

π

2

）
=6a₁+

3π

2

-cos（a₁+

π

4

）=3π，
解得a₁=

π

4

，即a_n=

nπ

4

．
∴f（a₁）+f（a₂）+…f（a₁₀）
=2（

π

4

+

2π

4

+…+

10π

4

）-（cos

π

4

+cos

2π

4

+…+cos

10π

4

）
=

π

2

×10×(10+1)×

1

2

-cos

π

4

=

55π

2

-

2

2

．
故答案为：

55π

2

-

2

2

．

点评：本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要注意数列性质、三角函数知识的合理运用．