设向量$\overrightarrow{c}$=$\frac{|\overrightarrow{b}|\overrightarrow{a}+|\overrightarrow{a}|\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|}$.若$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．设向量$\overrightarrow{c}$=$\frac{|\overrightarrow{b}|\overrightarrow{a}+|\overrightarrow{a}|\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|}$，若$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{6}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{6}$．

分析不妨设$\overrightarrow{c}$=（$\sqrt{3}$，0），由于$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{6}$，可得$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，1）．设$\overrightarrow{a}$=（x，y），利用向量$\overrightarrow{c}$=$\frac{|\overrightarrow{b}|\overrightarrow{a}+|\overrightarrow{a}|\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|}$，解出x，y，再利用向量夹角公式即可得出．

解答解：不妨设$\overrightarrow{c}$=（$\sqrt{3}$，0），∵$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{6}$，
∴$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，1）．
设$\overrightarrow{a}$=（x，y），
∴向量$\overrightarrow{c}$=$（\sqrt{3}，0）$=$\frac{|\overrightarrow{b}|\overrightarrow{a}+|\overrightarrow{a}|\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2（x，y）+\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}（\sqrt{3}，1）}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}+2}$，
∴$\sqrt{3}$$（\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}+2）$=2x+$\sqrt{3}$$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，0=2y+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
解得x=$\sqrt{3}$，y=-1．
∴$\overrightarrow{a}$=$（\sqrt{3}，-1）$．
设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{3}{2×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．