Question

9．过点P（1，2）的直线与圆x²+y²=4相切，且与直线ax-y+1=0垂直，则实数a的值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 先用点斜式设出切线的方程，再根据圆心O到切线的距离等于半径2，求得切线的斜率k的值，可得与之垂直的直线ax-y+1=0的斜率a的值．

解答 解：圆x²+y²=4的圆心为原点O（0，0），半径等于2，显然点P（1，2）在圆的外部．
或点P能做2条圆的切线，设切线的斜率为k，则切线方程为y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，
根据圆心O到kx-y+2-k=0的距离等于半径2，可得$\frac{|0-0+2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，求得k=0，或 k=2．
当k=0时，过点P（1，2）的直线斜率为零，故与之垂直的直线ax-y+1=0的斜率不存在；
当k=2时，过点P（1，2）的直线斜率为2，故与之垂直的直线ax-y+1=0的斜率为-$\frac{1}{2}$，
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．