Question

8．如图，AB是⊙O的直径，弦DB、AC的延长线相交于点P，PE垂直于AB的延长线于点E．
（Ⅰ）求证：∠PCE=∠PBE；
（Ⅱ）若∠PAE=30°，EB=1，PB=2BD，求PE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BC，由四边形对角互补，证明P，C，B，E四点共圆，可得∠PCE=∠PBE；
（Ⅱ）设圆的半径为r，PE=x，求得三角形ABC的三边，以及PA，连接AD，可得AD⊥BD，运用三角形相似可得BD²=r；再由圆的切割线定理，可得PB•BD=AB•BE，化简整理，解得r=1，进而得到所求长．

解答 解：（Ⅰ）证明：连接BC，由AB是⊙O的直径，
可得AC⊥BC，
又PE⊥AB，即有∠PCB=∠PEB，
则P，C，B，E四点共圆，
可得∠PCE=∠PBE；
（Ⅱ）设圆的半径为r，PE=x，
在直角三角形ABC中，∠CAB=30°，
可得AB=2r，BC=r，AC=$\sqrt{3}$r，
在直角三角形PAE中，AE=2r+1，PA=$\sqrt{{x}^{2}+（1+2r）^{2}}$，
且tan30°=$\frac{x}{1+2r}$，即x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（1+2r），
即PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（1+2r），
连接AD，可得AD⊥BD，
由∠ADB=∠PEB=90°，∠ABD=∠PBE，
可得△ABD∽△PBE，即有$\frac{AB}{PB}$=$\frac{BD}{BE}$，
即PB•BD=AB•BE，即有2BD²=2r，
即BD²=r；
又由圆的切割线定理，可得PB•PD=PC•PA，
则2BD•3BD=（PA-AC）•PA
即为6r=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（1+2r）-$\sqrt{3}$r）•$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（1+2r），
化简可得r=1，
即有x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（1+2r）=$\sqrt{3}$．
则PE的长为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆的切割线定理、同弧所对的圆周角相等、相似三角形的判定定理和性质定理的运用，以及勾股定理，考查推理和运算能力，属于中档题．