Question

14．已知实数x，y，z满足x+y+z=1，求3x²+2y²+2z²的最小值．

Answer 1

分析 利用已知条件x+y+z=1结合柯西不等式，求解3x²+2y²+2z²的最小值．

解答 解：由柯西不等式，${（x+y+z）^2}≤[{{{（\sqrt{3}x）}^2}+{{（\sqrt{2}y）}^2}+{{（\sqrt{2}z）}^2}}]•[{{{（\frac{1}{{\sqrt{3}}}）}^2}+{{（\frac{1}{{\sqrt{2}}}）}^2}+{{（\frac{1}{{\sqrt{2}}}）}^2}}]$，
因为x+y+z=1，所以$3{x^2}+2{y^2}+2{z^2}≥\frac{3}{4}$，
当且仅当$\frac{{\sqrt{3}x}}{{\frac{1}{{\sqrt{3}}}}}=\frac{{\sqrt{2}y}}{{\frac{1}{{\sqrt{2}}}}}=\frac{{\sqrt{2}z}}{{\frac{1}{{\sqrt{2}}}}}$，即$x=\frac{1}{4}，y=\frac{3}{8}，z=\frac{3}{8}$时，等号成立，
所以3x²+2y²+2z²的最小值为$\frac{3}{4}$…（10分）．

点评 本题考查柯西不等式在最值中的应用，考查计算能力．