Question

3．已知函数g（x）=x²+ln（x+a），其中a为常数．
（1）当a=0时，求g（x）在（1，1）处的切线方程；
（2）讨论函数g（x）的单调性；
（3）若g（x）存在两个极值点x₁，x₂，求证：无论实数a取何值都有$\frac{g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）}{2}$＞g（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；
（2）利用求导法则求出函数g（x）的导函数，把导函数解析式通分化简，分4a²-8≤0，或4a²-8＞0两种情况讨论函数的单调性；
（3）当a＞$\sqrt{2}$时，函数g（x）在（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，+∞）或（-a，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）上单调递增，在（$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）上单调递减；$\frac{g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+ln（{x}_{1}+a）+{{x}_{2}}^{2}+ln（{x}_{2}+a）}{2}$=$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$ln2，g（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=g（-$\frac{a}{2}$）=$\frac{1}{4}$a²+ln$\frac{a}{2}$；令f（a）=$\frac{1}{4}$a²-lna+$\frac{1}{2}$ln2-$\frac{1}{2}$，从而得证．

解答 解：（1）当a=0时，g（x）=x²+lnx=2x+$\frac{1}{x}$，
g（x）的导数为g′（x）=2-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
g（x）在（1，1）处的切线斜率为2-1=1，
则g（x）在（1，1）处的切线方程为y-1=x-1，
即x-y=0；
（2）∵g（x）=x²+ln（x+a），
∴函数的定义域为（-a，+∞）
∴g′（x）=2x+$\frac{1}{x+a}$，
令2x+$\frac{1}{x+a}$＞0，
2x²+2ax+1＞0，
当4a²-8≤0时，即-$\sqrt{2}$≤a≤$\sqrt{2}$时，g′（x）≥0，即函数g（x）在（-a，+∞）单调递增，
当4a²-8＞0时，即a＞$\sqrt{2}$，或a＜-$\sqrt{2}$时，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，或x=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，
①若a＞$\sqrt{2}$，
当g′（x）＞0时，即x＞$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，或-a＜x＜$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，函数g（x）单调递增，
当g′（x）＜0时，即$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$＜x＜$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，函数g（x）单调递减，
②若a＜-$\sqrt{2}$，g′（x）＞0，即函数g（x）在（-a，+∞）单调递增，
综上所述：当a≤$\sqrt{2}$时，即函数g（x）在（-a，+∞）单调递增，
当a＞$\sqrt{2}$时，函数g（x）在（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，+∞）或（-a，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）上单调递增，
在（$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）上单调递减，
（3）证明：由（1）可知，当a＞$\sqrt{2}$时，函数g（x）在（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，+∞），
（-a，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$），$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）上单调递增，
在（$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$）上单调递减，
x₁+x₂=-a；x₁•x₂=$\frac{1}{2}$，
$\frac{g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+ln（{x}_{1}+a）+{{x}_{2}}^{2}+ln（{x}_{2}+a）}{2}$=$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$ln2，
g（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=g（-$\frac{a}{2}$）=$\frac{1}{4}$a²+ln$\frac{a}{2}$；
故$\frac{g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）}{2}$-g（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）
=（$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$ln2）-（$\frac{1}{4}$a²+ln$\frac{a}{2}$）
=$\frac{1}{4}$a²-lna+$\frac{1}{2}$ln2-$\frac{1}{2}$；
令f（a）=$\frac{1}{4}$a²-lna+$\frac{1}{2}$ln2-$\frac{1}{2}$，
则f′（a）=$\frac{1}{2}$a-$\frac{1}{a}$=$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$，
∵a＞$\sqrt{2}$，∴$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$＞0；
∴f（a）=$\frac{1}{4}$a²-lna+$\frac{1}{2}$ln2-$\frac{1}{2}$在（$\sqrt{2}$，+∞）上增函数，
且f（$\sqrt{2}$）=0，
故$\frac{1}{4}$a²-lna+$\frac{1}{2}$ln2-$\frac{1}{2}$＞0，
故无论实数a取什么值都有$\frac{g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）}{2}$＞g（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）．

点评 本题考查了导数的综合应用：求切线的方程和单调区间，同时考查了分类讨论思想方法和恒成立问题，属于难题．